Gini Coefficient

定義

• 核心概念：衡量收入或財富分配平均程度的統計指標，數值介於 0~1。
• 數值解讀：越接近 0 代表分配越平均，越接近 1 代表貧富差距越大、分配越不均。
• 提出起源：由義大利統計學家 Corrado Gini 於 20 世紀初提出，用於量化群體內的不平等程度。
• 應用範疇：主要評估國家或地區所得分配，亦可應用於財富分配或其他衡量集中度的領域。

數值代表意義

• 該係數的計算邏輯建立在幾何模型上，主要依賴 羅倫茲曲線 (Lorenz Curve)、完全均等線 (Line of Perfect Equality) 之間的面積差異來進行量化。
• 理論極值：0 表示絕對平等 (人人收入相同)；1 表示絕對不平等 (一人獨占所有資源)。
• 吉尼指數：將係數乘以 100 轉化為百分比形式 (Gini index)，例如 0.35 即呈現為 35。

幾何計算法：羅倫茲曲線模型

• 幾何定義：吉尼係數等於「完全平等線」、「洛倫茲曲線」之間的面積，除以完全平等線下方的總面積。
• 曲線基礎：依據洛倫茲曲線計算，橫軸為累積人口比例，縱軸為累積收入比例。
  • 橫軸 (X 軸)：代表累積人口百分比，由 0~1 (即 0~100%)。
  • 縱軸 (Y 軸)：代表累積所得百分比，同樣由 0~1。
• 完全均等線：圖中從原點 (0,0) 到頂點 (1,1) 的 45 度對角線，代表所得分配絕對平均。
• 羅倫茲曲線：代表實際的所得分配情形，通常是一條位於對角線下方的弧線。
• 定義區域 A：完全均等線與羅倫茲曲線包圍的面積 (即貧富差距的缺口)。
• 定義區域 B：羅倫茲曲線下方的面積。
• 面積比率：在連續情況下定義為 A/(A+B)，A 為實際分配與平等線間的面積，A+B 為總三角形面積。
• 離散計算：將收入排序後利用公式加總並標準化，用於比較不同時間或國家的分配差異。

直觀解讀與應用限制

• 資源重分配：直觀上代表需從富人處重新分配多少比例的總收入，才能達成完全平等。
• 指標盲點：無法具體顯示貧窮集中的群體或中產階級處境，需搭配貧窮率或所得分位資料綜合分析。

基尼係數的核心定義與概念

• 在理想的絕對平均狀態下，基尼係數為 0；在絕對不平均 (即所有所得集中於一人) 的狀態下，基尼係數為 1。

幾何計算法：羅倫茲曲線模型

• 此方法適用於理解基尼係數的基本原理，請想像一個座標圖：
• 基尼係數 G 的幾何計算公式為：
• $$G=\frac{A}{A+B}$$
• 由於完全均等線下的總三角形面積 (A + B) 固定為 0.5，因此公式通常簡化為：
• $$G=2A=1-2B$$

代數計算法：勃朗公式 (Brown Formula)

• 在現實世界的統計中，我們無法獲得連續的曲線，而是透過分組數據 (例如將人口分為五等分或十等分) 來計算，這時通常使用勃朗公式進行近似運算。
• 假設將總人口依所得由低至高分為 n 組。
• 設定 $X_k$ 為第 k 組的累積人口比例 (例如第一組是 0.2，第二組是 0.4)。
• 設定 $Y_k$ 為第 k 組的累積所得比例。
• 則基尼係數 G 的計算公式如下：
• $$G=|1-\sum _{k=1}^n(X_k-X_{k-1})(Y_k+Y_{k-1})|$$
• 這個公式的數學意義是利用梯形面積公式計算羅倫茲曲線下的面積 B，再代回 $G=1-2B$ 的邏輯中求得係數。

數值判讀與國際警戒線

• 基尼係數越低，代表社會財富分配越平均；係數越高，代表貧富差距越懸殊。
• 0.2 以下：所得分配極度平均 (通常僅見於北歐福利國家或理想社會)。
• 0.2 至 0.3：所得分配相對平均。
• 0.3 至 0.4：所得分配差距正常。
• 0.4：此數值被視為國際警戒線，超過此線代表貧富差距過大，容易引發社會階級對立。
• 0.6 以上：所得分配極度不均，社會處於動盪邊緣。